高二数学-南通市启东中学2015-2016学年高二上学期期中数学试卷(文科)

发布时间:2021-10-27 20:20:22

2015-2016 学年江苏省南通市启东中学高二(上)期中数学试卷 (文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分﹒请把答案填写在答题卡相应位 置上﹒ 1. “p 且 q”为真是“p 或 q”为真的__________条件. “必要不充分条件”, (填“充分不必要条件”, “充要条件”,“既不充分也必要条件”) 2.命题“?x∈R,lgx=x﹣2”的否定是__________. 3.若过点 A(a,a)可作圆 x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0 的两条切线,则实数 a 的取值范围是 __________.

4.若椭圆

的焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围为__________.

5.双曲线

与双曲线

的离心率分别为 e1 和 e2,则

=__________.

6.抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=1,则焦点坐标是__________. 7.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相离,则 m 取值范围是__________. 8.下列命题: ①?x∈R,x2+1>0; ②?x∈N,x2≥1; ③?x∈Z,x3<1; ④?x∈Q,x2=3; ⑤?x∈R,x2﹣3x+2=0 ⑥?x∈R,x2+1=0 其中所有真命题的序号是__________.

9.已知点 P 是椭圆

(a>b>0,xy≠0)上的动点,F1(﹣c,0) 、F2(c,0)为椭

圆对左、右焦点,O 为坐标原点,若 M 是∠F1PF2 的角*分线上的一点,且 F1M⊥MP,则 |OM|的取值范围是__________.
1

10.已知直线 ax+by+c=0 与圆:x2+y2=1 相交于 A、B 两点,且 =__________.

,则

11.若直线 y=x+b 与曲线 x=

恰有一个公共点,则 b 的取值范围是__________.

12.下列说法: ①函数 f(x)=lnx+3x﹣6 的零点只有 1 个且属于区间(1,2) ; ②若关于 x 的不等式 ax2+2ax+1>0 恒成立,则 a∈(0,1) ; ③函数 y=x 的图象与函数 y=sinx 的图象有 3 个不同的交点; ④已知函数 f(x)=log2 为奇函数,则实数 a 的值为 1.

正确的有__________. (请将你认为正确的说法的序号都写上) .

13.已知椭圆

的离心率是

,过椭圆上一点 M 作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B

两点,且斜率分别为 k1,k2,若点 A,B 关于原点对称,则 k1?k2 的值为__________. 14.直线 3x﹣4y+2 A、B、C、D,则 =0 与抛物线 x2=2 的值为__________. y 和圆 x2+(y﹣ )2= 从左到右的交点依次为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分﹒请在答题卡的指定区域内作答,解答时应写出 文字说明,证明过程或演算步骤﹒ 15. (14 分)已知命题 p:实数 m 满足 m2﹣7am+12a2<0(a>0) ,命题 q:实数 m 满足方 程 范围. 16. (14 分)在直角坐标系 xOy 中,已知 A(﹣3,0) ,B(3,0) ,动点 C(x,y) ,若直线 AC,BC 的斜率 kAC,kBC 满足条件 (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)已知 ,问:曲线 C 上是否存在点 P 满足 ?若存在求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由. . 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且非 q 是非 p 的充分不必要条件,求 a 的取值

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17. (14 分)已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实根,命题 q:关于 x 的不等式 x2﹣2(m+1)x+m(m+1)>0 对任意的实数 x 恒成立,若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 m 的取值范围. 18. (16 分)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长 度的最小值. 19. (16 分)已知圆 O:x2+y2=4. (1)直线 l1: 与圆 O 相交于 A、B 两点,求|AB|; (2)如图,设 M(x1,y1) 、P(x2,y2)是圆 O 上的两个动点,点 M 关于原点的对称点为 M1,点 M 关于 x 轴的对称点为 M2,如果直线 PM1、PM2 与 y 轴分别交于(0,m)和(0, n) ,问 m?n 是否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由.

20. (16 分)已知椭圆

的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点

为 A、B,且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P.证明: 为定值. (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒 过直线 DP、MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

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2015-2016 学年江苏省南通市启东中学高二(上)期中数 学试卷(文科)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分﹒请把答案填写在答题卡相应位 置上﹒ 1.“p 且 q”为真是“p 或 q”为真的充分不必要条件条件. (填“充分不必要条件”,“必要不充分 条件”,“充要条件”,“既不充分也必要条件”) 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】应用题. 【分析】由“p 且 q”为真可知命题 P,q 都为真命题;由“p 或 q”为真可知命题 p,q 至少一个 为真命题,从而可判断 【解答】解:由“p 且 q”为真可知命题 P,q 都为真命题 由“p 或 q”为真可知命题 p,q 至少一个为真命题 ∴当“p 且 q”为真时“p 或 q”一定为真,但“p 或 q”为真是“p 且 q”不一定为真 故“p 且 q”为真是“p 或 q”为真的充分不必要条件 故答案为充分不必要条件 【点评】 本题主要考查了充分条件与必要条件的判断, 解题的关键是由复合命题的真假判断 命题 p,q 的真假 2.命题“?x∈R,lgx=x﹣2”的否定是?x∈R,lgx≠x﹣2. 【考点】命题的否定. 【专题】计算题;规律型;对应思想;简易逻辑. 【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可. lgx=x﹣2”的否定是: 【解答】 解: 因为特称命题的否定是全称命题, 所以命题“?x∈R, ?x∈R, lgx≠x﹣2. 故答案为:?x∈R,lgx≠x﹣2. 【点评】本题考查命题的否定,特称命题与全称命题的否定关系,考查计算能力. 3. a) 若过点 A (a, 可作圆 x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0 的两条切线, 则实数 a 的取值范围是 (﹣ ∞,﹣3)∪(1, ) . 【考点】点与圆的位置关系. 【专题】计算题. 【分析】把已知圆的方程化为标准方程,找出圆心 P 的坐标和圆的半径 r,并根据二元二次 方程构成圆的条件可得 a 的范围,利用两点间的距离公式求出|AP|的值,由过 A 可作圆的两 条切线,得到点 A 在圆 P 外,可得|AP|的值大于圆的半径 r,列出关于 a 的不等式,求出不 等式的解集,与求出的 a 的范围求出并集,可得满足题意 a 的取值范围. 【解答】解:把圆的方程化为标准方程得: (x﹣a)2+y2=3﹣2a, 可得圆心 P 坐标为(a,0) ,半径 r= ,且 3﹣2a>0,即 a< ,

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由题意可得点 A 在圆外,即|AP|=

>r=



即有 a2>3﹣2a,整理得:a2+2a﹣3>0,即(a+3) (a﹣1)>0, 解得:a<﹣3 或 a>1,又 a< , 可得 a<﹣3 或 ,

则实数 a 的取值范围是(﹣∞,﹣3)∪(1, ) 故答案为: (﹣∞,﹣3)∪(1, ) 【点评】此题考查了点与圆的位置关系,涉及的知识有:两点间的距离公式,二元二次方程 构成圆的条件,以及不等式的解法,点与圆的位置关系由这点到圆心的距离 d 与半径 r 的大 小关系来确定:当 d=r,点在圆上;d>r,点在圆外;d<r,点在圆内.

4.若椭圆

的焦点在 x 轴上,则 k 的取值范围为(﹣1,1) .

【考点】椭圆的简单性质. 【专题】计算题;数形结合;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

【分析】由已知条件利用椭圆定义得

,由此能求出 k 的取值范围.

【解答】解:∵椭圆

表示焦点在 x 轴上的椭圆,



,解得﹣1<k<1.

∴k 的取值范围为(﹣1,1) , 故答案为: (﹣1,1) 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意椭圆性质的合理运用.

5.双曲线

与双曲线

的离心率分别为 e1 和 e2,则

=1. 【考点】双曲线的简单性质. 【专题】计算题;方程思想;数形结合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.

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【分析】利用双曲线的方程求出离心率,然后化简

,求解即可

【解答】解:由题意知:e1=

,e2=





=

+

=1,

故答案为:1. 【点评】本题考查双曲线的基本性质的应用,离心率的求法,考查计算能力. 6.抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=1,则焦点坐标是(0,﹣1) . 【考点】抛物线的简单性质;抛物线的标准方程. 【专题】计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】将抛物线化成标准方程,再根据准线方程为 y=1 即可得到它的焦点坐标. 【解答】解:将抛物线化成标准方程得 x2= y,可得它的顶点在原点. ∵抛物线的准线方程为 y=1, ∴抛物线的开口向下,它的焦点为 F(0,﹣1) . 故答案为: (0,﹣1) 【点评】本题给出抛物线的方程,在已知它的准线的情况下求它的焦点坐标.考查了抛物线 的标准方程及其基本概念的知识,属于基础题. 7.若直线 x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相离,则 m 取值范围是 m>2. 【考点】直线与圆的位置关系. 【专题】计算题;转化思想;直线与圆. 【分析】根据直线与圆相离得到圆心到直线的距离 d 大于 r,利用点到直线的距离公式列出 关于 m 的不等式,求出不等式的解集即可确定出 m 的范围. 【解答】解:∵x+y+m=0 与圆 x2+y2=m 相离, ∴圆心到直线的距离 d>r,即 > ,

解得:m>2, 故答案为:m>2. 【点评】此题考查了直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,点到直线的距离 公式,当直线与圆相离时,圆心到直线的距离大于圆的半径,熟练掌握此性质是解本题的关 键. 8.下列命题: ①?x∈R,x2+1>0; ②?x∈N,x2≥1; ③?x∈Z,x3<1; ④?x∈Q,x2=3; ⑤?x∈R,x2﹣3x+2=0
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⑥?x∈R,x2+1=0 其中所有真命题的序号是①③. 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】简易逻辑. 【分析】①由?x∈R,x2+1≥1>0,即可得出; ②当 x=0 时,x2=0,即可判断出; ③例如 x=0∈Z,满足 x3<1,即可判断出; ④由 x2=3,解得 x=± ,为无理数,即可判断出; ⑤举反例如 x=0 时,x2﹣3x+2=0 不成立; ⑥由 x2+1=0 在 R 范围内无实数根,即可判断出. 【解答】解:①∵?x∈R,x2+1≥1>0,因此①正确; ②?x∈N,x2≥0,因此②不正确; ③?x∈Z,例如 x=0,满足 x3<1,故③正确; ④由 x2=3,解得 x=± ,为无理数,因此不存在 x∈Q,满足 x2=3,因此④不正确; ⑤?x∈R,x2﹣3x+2=0,不正确,例如 x=0 时,x2﹣3x+2=0 不成立; ⑥∵x2+1=0 在 R 范围内无实数根,∴不存在实数 x 满足 x2+1=0,因此⑥不正确. 综上可知:只有①③正确. 故答案为:①③. 【点评】本题综合考查了简易逻辑的有关知识、一元二次方程的解与实数及判别式的关系, 属于基础题.

9.已知点 P 是椭圆

(a>b>0,xy≠0)上的动点,F1(﹣c,0) 、F2(c,0)为椭

圆对左、右焦点,O 为坐标原点,若 M 是∠F1PF2 的角*分线上的一点,且 F1M⊥MP,则 |OM|的取值范围是(0,c) . 【考点】椭圆的简单性质. 【专题】数形结合;数学模型法;圆锥曲线的定义、性质与方程. M 是∠F1PF2 的角*分线上的一点, 【分析】 如图所示. 且 F1M⊥MP, 可得点 M 是底边 F1N 的中点.又点 O 是线段 F1F2 的中点,|OM|= .|PF1|=|PN|,可得∠F2NM>∠F2F1N,

可得|F1F2|>|F2N|,即可得出. 【解答】解:如图所示. ∵M 是∠F1PF2 的角*分线上的一点,且 F1M⊥MP, ∴点 M 是底边 F1N 的中点, 又点 O 是线段 F1F2 的中点, ∴|OM|= ,

∵|PF1|=|PN|, ∴∠F2NM>∠F2F1N, ∴|F1F2|>|F2N|, ∴0<|OM| =c.

∴则|OM|的取值范围是(0,c) .
8

故答案为: (0,c) .

【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、等腰三角形的性质、三角形的中位线定理、 三角形的边角关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 10. x2+y2=1 相交于 A、 B 两点, 已知直线 ax+by+c=0 与圆: 且

, 则

=



【考点】向量在几何中的应用. 【专题】计算题;综合题. 【分析】 直线与圆有两个交点, 知道弦长、 半径, 不难确定∠AOB 的大小, 即可求得 的值. 【解答】解:依题意可知角∠AOB 的一半的正弦值, 即 sin 所以:∠AOB=120° 则 ? =1×1×cos120°= . . =

?

故答案为:

【点评】初看题目,会被直线方程所困惑,然而看到题目后面,发现本题容易解答.本题考 查*面向量数量积的运算,直线与圆的位置关系.是基础题.

11.若直线 y=x+b 与曲线 x= ﹣ . 【考点】直线与圆相交的性质.

恰有一个公共点,则 b 的取值范围是﹣1<b≤1 或 b=

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【专题】计算题;直线与圆. 【分析】直线 y=x+b 是一条斜率为 1,截距为 b 的直线;曲线 x= 是一个圆心为(0,

0) ,半径为 1 的右半圆.它们有且有一个公共点,做出它们的图形,则易得 b 的取值范围. 【解答】解:直线 y=x+b 是一条斜率为 1,截距为 b 的直线; 曲线 x= 变形为 x2+y2=1 且 x≥0

显然是一个圆心为(0,0) ,半径为 1 的右半圆. 根据题意,直线 y=x+b 与曲线 x= 有且有一个公共点 .

做出它们的图形,则易得 b 的取值范围是:﹣1<b≤1 或 b=﹣ 故答案为:﹣1<b≤1 或 b=﹣ .

【点评】 (1)要注意曲线 x=

是一个圆心为(0,0) ,半径为 1 的右半圆.始终要注

意曲线方程的纯粹性和完备性. (2)它们有且有一个公共点,做出它们的图形,还要注意直线和曲线相切的特殊情况. 12.下列说法: ①函数 f(x)=lnx+3x﹣6 的零点只有 1 个且属于区间(1,2) ; 2 ②若关于 x 的不等式 ax +2ax+1>0 恒成立,则 a∈(0,1) ; ③函数 y=x 的图象与函数 y=sinx 的图象有 3 个不同的交点; ④已知函数 f(x)=log2 为奇函数,则实数 a 的值为 1.

正确的有①④. (请将你认为正确的说法的序号都写上) . 【考点】命题的真假判断与应用. 【专题】函数的性质及应用;简易逻辑. 【分析】对于①:结合函数的单调性,利用零点存在性定理判断; 对于②:分 a=0 和 a≠0 进行讨论,a≠0 时结合二次函数的图象求解; 对于③:结合图象及导数进行判断; 对于④:利用奇函数定义式,f(﹣x)+f(x)=0 恒成立求 a,注意定义域.

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【解答】解:对于①:函数 f(x)=lnx+3x﹣6[m,n]在(0,+∞)上是增函数,且 f(1) =ln1+3×1﹣6=﹣3<0,f(2)=ln2+3×2﹣6=ln2>0.所以①正确; 对于②: 当 a=0 时原不等式变形为 1>0, 恒成立; 当 a≠0 时, 要使关于 x 的不等式 ax2+2ax+1 >0 恒成立,则 a>0 且△ =(2a)2﹣4a×1<0?0<a<1,综上可得 a 的范围是[0,1) ,故② 不正确; 对于③:令函数 y=x﹣sinx,则 y′=1﹣cosx,所以该函数在[0,+∞)上是增函数,且 x=0 时最小,且该函数是奇函数,所以函数 y=x﹣sinx 只有 x=0 一个零点,即函数 y=x 的图象与 函数 y=sinx 的图象只有一个交点,故③不正确; ④由奇函数得: , ,a2=1,

因为 a≠﹣1,所以 a=1.故④正确. 故答案为:①④. 【点评】该题目考查了函数的奇偶性的定义、零点定理、等基础知识,在应用过程中要注意 准确把握定理应用的要素与条件,切不可想当然.

13.已知椭圆

的离心率是

,过椭圆上一点 M 作直线 MA,MB 交椭圆于 A,B

两点,且斜率分别为 k1,k2,若点 A,B 关于原点对称,则 k1?k2 的值为 【考点】椭圆的简单性质;直线的斜率. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】椭圆 的离心率是



,则椭圆的方程可化为:x2+2y2=2b2.设 M(m,n) ,

直线 AB 的方程为:y=kx,可设:A(x0,kx0) ,B(﹣x0,﹣kx0) .代入椭圆方程和利用斜 率计算公式即可得出. 【解答】解:∵椭圆 的离心率是 ,∴ ,∴ ,

于是椭圆的方程可化为:x2+2y2=2b2. 设 M(m,n) ,直线 AB 的方程为:y=kx,可设:A(x0,kx0) ,B(﹣x0,﹣kx0) . 则 m2+2n2=2b2, ∴ = . ,

∴k1?k2= 故答案为:﹣ .

=

=



【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式等基础知识与基本技能方法, 属于中档题.

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14.直线 3x﹣4y+2 A、B、C、D,则

=0 与抛物线 x2=2 的值为 . .

y 和圆 x2+(y﹣

)2= 从左到右的交点依次为

【考点】直线与圆锥曲线的关系;直线与圆的位置关系. 【专题】综合题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】由已知可得抛物线的焦点为圆心,直线过抛物线的焦点,利用抛物线的定义,结合 直线与抛物线方程联立,即可求出 的值 )2= ,抛物线 x2=2 )点, y 的焦点为(0, ) ,

【解答】解:由已知圆的方程为 x2+(y﹣ 准线方程为 y=﹣ ,直线 3x﹣4y+2 ,有 8y2﹣17

=0 过(0,



y+4=0,

设 A(x1, y1) ,D(x2,y2) , 则 y1= ,y2=2 , ,

所以 AB=y1= 故 = .

,CD=y2=2

故答案为:



【点评】本题考查圆锥曲线和直线的综合运用,考查抛物线的定义,解题时要注意合理地进 行等价转化. 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分﹒请在答题卡的指定区域内作答,解答时应写出 文字说明,证明过程或演算步骤﹒ 15. (14 分)已知命题 p:实数 m 满足 m2﹣7am+12a2<0(a>0) ,命题 q:实数 m 满足方 程 表示焦点在 y 轴上的椭圆,且非 q 是非 p 的充分不必要条件,求 a 的取值

范围. 【考点】充要条件. 【专题】计算题. 【分析】根据命题 p、q 分别求出 m 的范围,再根据非 q 是非 p 的充分不必要条件列出关于 m 的不等式组,解不等式组即可 【解答】解:由 m2﹣7am+12a2<0(a>0) ,则 3a<m<4a 即命题 p:3a<m<4a 由 表示焦点在 y 轴上椭圆可得:2﹣m>m﹣1>0,∴

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即命题 由非 q 为非 p 充分不必要条件,则 p 是 q 的充分不必要条件 从而有:

∴ 【点评】本题考查充分条件、必要条件,一元二次不等式的解法,椭圆的定义等相关知识, 要求对基础知识有比较好的把握.属简单题 16. (14 分)在直角坐标系 xOy 中,已知 A(﹣3,0) ,B(3,0) ,动点 C(x,y) ,若直线 AC,BC 的斜率 kAC,kBC 满足条件 (1)求动点 C 的轨迹方程; (2)已知 ,问:曲线 C 上是否存在点 P 满足 ?若存在求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题;探究型;函数思想;转化思想;*面向量及应用;向量与圆锥曲线;圆锥 曲线的定义、性质与方程. 【分析】 (1)利用已知条件求出直线 AC,BC 的斜率 kAC,kBC,通过 出动点 C 的轨迹方程. (2)利用数量积为 0,求出 P 的方程,然后与椭圆方程联立,求出交点坐标即可. 【解答】 (本小题满分 14 分) 解: (1) 又 (x≠﹣3) , ,∴ (x≠3) .求 .

化简整理得

(x≠±3)

(2)设曲线 C 上存在点 P(x,y)满足



联立方程组

,解得

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∴存在四个点满足条件,它们是: ,

, (14 分)



【点评】本题考查轨迹方程的求法,圆锥曲线之间的关系的综合应用,考查计算能力. 17. (14 分)已知命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实根,命题 q:关于 x 的不等式 2 x ﹣2(m+1)x+m(m+1)>0 对任意的实数 x 恒成立,若“p∨q”为真,“p∧q”为假,求实数 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假. 【专题】简易逻辑. 【分析】若命题 p 正确,则△ >0,解得 m 范围.若命题 q 正确,则△ <0,解得 m 范围.若 “p∨q”为真,“p∧q”为假,则 p 与 q 必然一真一假,即可得出. 【解答】解:命题 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不相等的实根,∴△=m2﹣4>0,解得 m>2 或 m<﹣2. x+m ∴△=4 命题 q: 关于 x 的不等式 x2﹣2 (m+1) (m+1) >0 对任意的实数 x 恒成立, (m+1) 2 ﹣4m(m+1)<0,解得 m<﹣1. 若“p∨q”为真,“p∧q”为假, 则 p 与 q 必然一真一假, ∴ 或 ,

解得 m>2 或﹣2≤m<﹣1. ∴实数 m 的取值范围是 m>2 或﹣2≤m<﹣1. 【点评】 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、 一元二次不等式的解与判别式 的关系、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18. (16 分)已知椭圆 C:x2+2y2=4. (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长 度的最小值. 【考点】椭圆的简单性质;两点间的距离公式. 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 【分析】 (Ⅰ)椭圆 C:x2+2y2=4 化为标准方程为 ,求出 a,c,即可求椭圆 C 的

离心率; (Ⅱ)先表示出线段 AB 长度,再利用基本不等式,求出最小值. 【解答】解: (Ⅰ)椭圆 C:x2+2y2=4 化为标准方程为 ∴a=2,b= ,c= , ; ,

∴椭圆 C 的离心率 e= =

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(Ⅱ)设 A(t,2) ,B(x0,y0) ,x0≠0,则 ∵OA⊥OB, =0, ∴ ∴tx0+2y0=0,∴t=﹣ ∵ , )2+(y0﹣2) ,

∴|AB|2=(x0﹣t)2+(y0﹣2)2=(x0+

2

=x02+y02+

+4=x02+

+

+4=

+4(0<x02≤4) ,

因为

≥4(0<x02≤4) ,当且仅当

,即 x02=4 时等号成立,所以|AB|2≥8.

∴线段 AB 长度的最小值为 2

. 【点评】本题考查椭圆的方程与性质,考查基本不等式的运用,考查学生的计算能力,属于 中档题. 19. (16 分)已知圆 O:x2+y2=4. (1)直线 l1: 与圆 O 相交于 A、B 两点,求|AB|; (2)如图,设 M(x1,y1) 、P(x2,y2)是圆 O 上的两个动点,点 M 关于原点的对称点为 M1,点 M 关于 x 轴的对称点为 M2,如果直线 PM1、PM2 与 y 轴分别交于(0,m)和(0, n) ,问 m?n 是否为定值?若是求出该定值;若不是,请说明理由.

【考点】直线与圆相交的性质. 【专题】直线与圆. 【分析】 (1)先求出圆心(0,0)到直线 的距离,再利用弦长公式求得弦 长 AB 的值. (2)先求出 M1 和点 M2 的坐标,用两点式求直线 PM1 和 PM2 的方程,根据方程求得他们 在 y 轴上的截距 m、n 的值,计算 mn 的值,可得结论. 【解答】解: (1)由于圆心(0,0)到直线 的距离 . 圆的半径 r=2,∴ .…

15

(2)由于 M(x1,y1) 、p(x2,y2)是圆 O 上的两个动点,则可得 ,且 , .…



根据 PM1 的方程为

=

,令 x=0 求得

y=



根据 PM2 的方程为:

=

,令 x=0 求得 y=

.…



,显然为定值.…(14 分)

【点评】 本题主要考查直线和圆相交的性质, 点到直线的距离公式, 用两点式求直线的方程、 求直线在 y 轴上的截距,属于中档题.

20. (16 分)已知椭圆

的左、右焦点分别为 F1、F2,短轴两个端点

为 A、B,且四边形 F1AF2B 是边长为 2 的正方形. (1)求椭圆的方程; (2)若 C、D 分别是椭圆长的左、右端点,动点 M 满足 MD⊥CD,连接 CM,交椭圆于点 P.证明: 为定值. (3)在(2)的条件下,试问 x 轴上是否存异于点 C 的定点 Q,使得以 MP 为直径的圆恒 过直线 DP、MQ 的交点,若存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,请说明理由.

【考点】椭圆的标准方程;直线与圆锥曲线的综合问题. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】 (1)由题意知 a=2,b=c,b2=2,由此可知椭圆方程为 .

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(2)设 M(2,y0) ,P(x1,y1) , ,代入椭圆方程 x2+2y2=4,得

,直线 CM:

,然后利用根与系数的关系能够推导出 (3)设存在 Q(m,0)满足条件,则 MQ⊥DP. ,再由

为定值.

,由此可知存在 Q(0,0)满足条件. 【解答】解: (1)a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2; ∴椭圆方程为 (2)C(﹣2,0) ,D(2,0) ,设 M(2,y0) ,P(x1,y1) ,

直线 CM:

,代入椭圆方程 x2+2y2=4,



∵x1=﹣

,∴

,∴





∴ (3)设存在 Q(m,0)满足条件,则 MQ⊥DP

(定值)

则由

,从而得 m=0

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∴存在 Q(0,0)满足条件(14 分) 【点评】本题考查直线和椭圆的位置关系,解题时要认真审题,仔细解答.

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