二可分离变量的微分方程-文档资料

发布时间:2021-09-19 06:24:59

第十章 微分方程 第二节 可分离变量的微分方程 一、可分离变量的微分方程 g (y)d? yf(x )dx 可分离变量的微分方程. 例如 dy?2x2y54 ?y?54dy?2x2dx, dx 解法 设函数g( y)和f (x)是连续的, ?g(y)d? y?f(x)dx 分离变量法 设 函 数 G (y)和 F(x)是 依 次 为 g(y)和 f(x)的 原 函 数 , G (y)? F (x )? C 为微分方程的解. 二、例题 例1 求解微分方程 dy?2xy的通解 . dx 解 分离变量 dy ? 2xdx, y 两端积分 ? dy? y ? 2xdx, lny?x2?C1 ?y?cex2为所求通 . 解 例2 求解微分方程 d? yco x? sy?co x? sy. dx 2 2 解 d? yco x? sy?co x? sy?0 , dx 2 2 dy?2sin xsin y?0, dx 2 2 ?2sdiyny ???sin2xdx, 2 lncscy?coty ?2cosx?C, 为所求解. 22 2 xydx?(x2?1)dy?0 例3. 解初值问题 y(0)?1 解: 分离变量得 dy y ? ?1?xx2 dx 两边积分得 lny ?ln 1 ?lnC x2?1 即 y x2 ?1 ?C ( C 为任意常数 ) 由初始条件得 C = 1, 故所求特解为 y x2 ?1 ?1 例4. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度 成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求 降落伞下落速度与时间的函数关系. 解: 根据牛顿第二定律列方程 m d v ? mg? kv dt 初始条件为 vt?0 ?0 ? ? 对方程分离变量, 然后积分 : dv ? dt mg?kv m 得 ?1ln(mg?kv)?t?C(此 m g 处 ? k v? 0 ) k m 利用初始条件, 得 C??1ln(mg) t 足够大时 代入上式后化简, k 得特解 v?mg(1?e?m k t ) v ? mg k k 例 5 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成 正 比 , 已 知 M t?0 ? M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M(t)随时间t 变化的规律. 解 衰变速d度 M, 由题设条件 dt dM ???M dt (??0衰变)系dMM数 ? ??dt ? ?dMM????dt, lM n? ?t? lc n , 即 M?c? e?t, 代M 入 t?0?M 0得M0?ce0? C, ? M ?M 0e??t 衰变规律 三、小结 分离变量法步骤: 1.分离变量; 2.两端积分-------隐式通解. 思求 考 f( 方 x 题 )y y? d g 程 (x x )x y? d 0 通 y. 解 令u?xy, 则 d? uxd?yd, x f(u )yd ?g x (u )x?d? u yd ?0 x , x [f(u )?g (u )u ]d? x g (u )d? u 0 , x dx ? g(u) du ?0, x u[f(u)?g(u)] 通解为 ln |x|??u[f(u g)(u ?)g(u)d ] ? uC.

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